广义积分收敛性判别法是考研数学二中的核心考点,其逻辑严密性与应用灵活性对考生综合素养提出了较高要求，比较判别法、极限判别法与狄利克雷判别法构成了判别体系的三大支柱 ，三者各擅胜场 ，又相互补充，共同揭示了广义积分收敛的本质 。
比较判别法是基础中的基础,其核心逻辑在于“参照系”的选取——通过已知收敛或发散的积分（如p-积分∫₁^∞ 1/x^p dx）与待判积分进行直接或间接比较 ，直接比较法要求被积函数在积分区间内非负 ，且通过放缩建立不等式关系：“大的收敛则小的收敛，小的发散则大的发散 ”；而极限比较法则通过求极限lim_{x→+∞} f(x)/g(x)=l（0<l<+∞） ，将f(x)与g(x)的敛散性绑定 ，这一方法巧妙避开了放缩的难点，尤其适用于被积函数含“根式 ”“指数”等复杂结构时，对∫₁^∞ (x+1)/(x²√x+1) dx ，取g(x)=1/x^(3/2) ，易得极限为1，由p-积分p=3/2>1知其收敛 。
狄利克雷判别法则另辟蹊径,专门针对“振荡型 ”积分（如含sinx 、cosx等因子） ，其判别条件极具张力：被积函数f(x)需单调趋于0（或单调有界） ，而g(x)的积分∫ₐ^A g(x)dx在A→+∞时保持有界，这一判别法揭示了“振荡抑制发散 ”的深层机理——₁^∞ sinx/x dx ，虽1/x单调趋于0 ，且|∫₁^A sinx dx|=|cos1-cosA|≤2，故由狄利克雷判别法知其收敛 ，值得注意的是 ，此处“单调”条件不可忽视，若f(x)振荡趋于0（如f(x)=sinx/x） ，则可能失效。
三种判别法的选用需“对症下药 ”：当被积函数非负且易找到参照函数时 ，比较与极限比较法是首选；当被积函数含振荡项且非负性不成立时，狄利克雷判别法则成为破局关键，实际解题中 ，往往需先分析被积函数在奇点（如x→+∞或x→0⁺）的渐进行为 ，剥离主部后再选择判别法，对∫₀^1 x^a lnx dx ，需在x→0⁺时比较x^a与lnx的“胜负 ”——若a>-1 ，x^a主导，积分收敛；若a≤-1 ，lnx的“发散性”占优 ，积分发散 。
广义积分收敛性的判别,本质是对函数“增长速度”与“振荡幅度 ”的量化把控，唯有深刻理解三种判别法的适用边界与逻辑内核 ，才能在复杂积分面前游刃有余 ，实现从“套用公式 ”到“理性分析”的跨越 。