不等式证明作为考研数学中的“硬骨头 ” ，常因综合性强、方法灵活成为考生失重灾区 ，其难点并非题目本身超纲，而是缺乏系统化思路 ，掌握以下五种核心方法 ，便能以不变应万变，攻克这一堡垒。
比较法：从“差异 ”入手 ，化繁为简
比较法是证明不等式的基础 ，核心在于“作差”或“作商 ”后判断符号，作差法适用于多项式 、分式结构 ，通过因式分解 、配方或均值不等式将差式转化为非负形式；作商法则多用于指数、幂函数形式 ，通过化简后与1比较大小，证明“对于正数a,b，有a³+b³≥a²b+ab² ” ，作差后提取公因式(a+b)(a-b)² ，即可直观得出非负结论，关键在于熟练掌握代数变形技巧 ，避免盲目展开 。
中值定理法：搭建“桥梁” ，转化关系
当不等式涉及函数增量或导数关系时，拉格朗日中值定理 、柯西中值定理是利器 ，核心是通过构造辅助函数 ，将不等式转化为“f'(ξ)与某式比较 ”的形式，证明“e^x≥1+x ” ，可设f(t)=e^t ，在[0,x]上应用中值定理，得e^x-e^0=e^ξ·x（ξ∈(0,x)） ，因e^ξ>1 ，故e^x>1+x，难点在于准确选择区间和构造函数，需结合不等式结构逆向分析 。
单调性法：动态分析 ，锁定极值
对于含参或复杂函数不等式 ，构造函数利用导数判断单调性是最通用的方法，步骤为“移项构造单函数→求导→判断导数符号→利用单调性放缩” ，证明“x-sinx≤0（x≥0） ” ，设f(x)=x-sinx，求导得f'(x)=1-cosx≥0 ，故f(x)在[0,+∞)单调递增 ，又f(0)=0，得证 ，关键在于求导后的符号讨论 ，需注意导数的零点是否为极值点，以及定义域端点取值。
凹凸性法：借力几何特征 ，简化证明
若不等式可表示为“f((x₁+x₂)/2)≤(f(x₁)+f(x₂))/2 ”等形式 ，利用函数凹凸性可快速解决，根据定义，二阶导数f''(x)>0时函数下凸 ，f''(x)<0时上凸 ，结合凹凸函数性质即可放缩，证明“ln((a+b)/2)≥(lna+lnb)/2（a,b>0）” ，设f(x)=lnx ，f''(x)=-1/x²<0，函数上凸 ，由凹凸性定义直接得证 ，此法需快速识别函数凹凸性，避免复杂计算 。
已知不等式法：站在“巨人”肩上 ，灵活套用
考研中常直接或间接使用均值不等式 、柯西不等式、伯努利不等式等经典结论 ，均值不等式“a+b≥2√ab ”的变式“a²+b²≥2ab ”可解决大量对称结构不等式；柯西不等式“(a₁b₁+a₂b₂)²≤(a₁²+a₂²)(b₁²+b₂²)”则适用于乘积和形式，关键在于灵活变形 ，如“1+1/x²+x²≥3 ”可通过“1+(1/x²+x²) ”应用均值不等式证明 。
攻克不等式证明,本质是培养“结构化思维”：先观察不等式类型（整式 、分式 、超越式） ，再匹配对应方法，最后细化变形技巧，五种思路并非孤立 ，常需综合运用（如中值定理+单调性） ，唯有通过真题训练，体会方法选择逻辑 ，才能在考场上游刃有余 ，将“难点 ”转化为“得分点 ”。